変数分離法

 

熱伝導方程式について、という解を仮定する。

 

このとき、この解をtxでそれぞれ偏微分すると、

       

となるので、これを元の熱伝導方程式に代入すると、

       

となるので、辺々をそれぞれtxの式として整理すると、

となるのだが、左辺はtのみの式、右辺はxのみの式であるがゆえ、これらが恒等的に等しくあるには両辺は定数である必要がある。

ゆえに、

       

とおくことができて、結果、

       

       

となるので、の解を求めることは、の常微分方程式を求めることに帰着する。これを変数分離法という。

 

ちなみに、それぞれの式の一般解は、

       

       

となる。

 

       

の両辺にをかけて整理すると、

       

これは、

       

という積の微分公式の形に変形できるので、

       

と積分できて、

       

と一般解が求められる。

 

2階方程式の場合、が正の値か0か負の値のどれをとるかによって結果が異なる。

1) の場合

       

においては、とおくと、

       

となるが、これを

と変形してとおくと、

       

となるので、これはさきほどの議論から、

       

となる。よって、ともとの式を代入して、

       

この式の両辺にをかけて整理すると、

       

さらに積の微分公式を用いて整理すると、

       

となるので、両辺を積分すると、

       

よって、右辺第一項の積分定数をあらためてとおき直して辺々整理すると、

       

を得る。

2) の場合

       

となるので、これは簡単に解けて、

       

よって

       

3) の場合

       

においては、とおくと、は負の値を取る。

 

1)と同様の変形を踏んで、

       

となるが、これをオイラーの公式を用いて変形すると、

       

となるので、それぞれ積分定数を書き改め、

       

となる。