シュワルツの積分不等式

 

が閉区間でともに積分可能であるとき、

 

             

 

が成立する。この式をシュワルツの積分不等式という。

このシュワルツの積分不等式は、関数の積の積分の二乗は、関数の二乗の積分の積よりも常に小さいことを示している。

 

証明)

あるtに関する2次不等式について、がともに常に0でないとすると、

             

が言えるので、これを両辺閉区間で積分した式、

             

も成立する。左辺を展開して、

(左辺)    =

              =

となるが、この式が任意のtで成立するには、t2次方程式、

             

が重解もしくは虚数解を持つ必要があり、それには

              (実際、は定積分なので定数)

とおいた判別式、

             

が非正の値をとる必要がある。よって、

             

すなわち、

             

が導かれる。

 

 

注)同様のことが、関数の積分ではなく数列の総和でも言える。すなわち、

             

となる。

 

証明)

ある恒等的に0でない数列に関して、

             

であるので、そのk=0からnまでの総和、

             

についても成立する(0以上のものをn個足している)。左辺を展開して、

(左辺)    =

              =

であるが、この式が任意のtで成立するには、t2次方程式、

             

が重解もしくは虚数解を持つ必要があり、それには

              (実際、は定積分なので定数)

とおいた判別式、

             

が非正の値をとる必要がある。よって、

             

すなわち、

             

が導かれる。

なお、k=0から∞までの級数についても同様に証明できる。

 

「“積の総和(積分)の二乗”は、“二乗の総和(積分)の積”より常に小さくなる」と覚えておけばよい。

 

(参考サイト)

http://www.cfv21.com/archives/50618950.html