フーリエ変換

 

(準備)

フーリエ級数:周期関数(周期T、振動数f(=1/T)、角周波数(=2πf=2π/T))は、直流成分()と基本波成分(を角周波数としてもつ正弦波、sin(t), cos(t))そしてその高調波成分(sin(nt), cos(nt))の足し合わせで表現することが出来る。これをフーリエ級数という。

      

一般に周期関数は、定数項と、定期的に重なる周期を持つ三角関数の足し合わせで表現できる。

 

フーリエ係数:両辺に適当な高調波関数を掛けて、[-T/2,T/2]で積分すると各項の振幅(定積分より求めているので、定数である)が決定する。

この振幅、すなわち定数項および各三角関数の係数をフーリエ係数という。

                     (×1

             (×

             (×

 

複素フーリエ級数:フーリエ級数を三角関数形式の表示からオイラーの公式を用いて指数関数形式の表示に改めたもの。

      

∵)

      

                     (*)

 

ここで、上式(*)の右辺第2項について注目し、

      

とおくと、

      

      

 

 

となる。よって、n=1〜∞まではCnは、

      

となる。次に上式(*)の右辺第3項を念頭に置きながら、今求めたCnn-nを代入すると、

      

      

 

となる。よって、n=-∞〜-1までもCn

      

 

と書くことが出来る。ここまでくれば、n=0は、

      

 

となり、区間(-∞、∞)について、複素フーリエ級数の式

 

を得る。

 

複素フーリエ係数:指数関数形式のフーリエ級数の各項の係数。スペクトルとも呼ばれる。

      


(目標)

- 時間の関数f(t)を周波数の関数F(ω)に変換したい。

- 周期無限大の周期関数(孤立波)のフーリエ級数を考えたい。

 

(仮定)

関数f(t)は全区間(-, )で絶対可積分、すなわち、

を満たし、かつ区分的に連続であると仮定する。

 

(論述)

周期Tと角周波数には以下の関係がある。

      

ここで、T->∞の極限を考える。このとき、

     

となる。ただし、0に漸近する微小な値である。

一方、複素フーリエ係数は、[-T/2,T/2]の定積分なので、tの値によらない。よって、後の混同を避けるため、これをτ(タウ)を用いて書き改める。

      

上記複素フーリエ係数の式にて、T->∞の極限を取ると、

      

      

注)仮定より、積分は有限の値を持つ。(∵

これを、複素フーリエ級数の式に代入すると、T→∞(すなわち)を考慮して、

      

      

ここで、

       ,     

とおくと、複素フーリエ級数の式は、

と書ける。これは−∞から+∞までF(n)×という値をとる関数の区分求積をしていることに等しい。

 

ここで、の連続性について考察する。0の極限で、の幅は非常に小さくなり、また上記f(t)の総和にて、nが−∞から+∞までの値をすべて取るので、>0の極限では、nは連続の値をとることになり、これを

      

と、連続変数ωとおくことができる。これにより、先の微小角周波数の離散関数式F(n)は連続角周波数の関数、

      

と書くことができる。

この式を、時間関数f(t)から周波数関数F(ω)へのフーリエ変換という。

 

以上を考慮して、絶対可積分の仮定およびリーマン積分の定義より、複素フーリエ級数は

 

と書くことが出来る。この式を複素フーリエ積分公式と呼ぶ。また、複素フーリエ積分公式に、フーリエ変換の式を代入した式、

 

フーリエ逆変換という。これは、時間関数f(t)をフーリエ変換して得られた周波数関数F(ω)を、フーリエ逆変換すると元の時間関数f(t)に戻るということを示している。

 


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